02. Формула бинома Ньютона

Рассмотрение некоторых формул сокращенного умножения

Вспомним некоторые формулы сокращенного умножения.

– формула квадрата суммы. Рассмотрим, как вывести эту формулу.

 раскрываем скобки, перемножая почленно:

.

Аналогично, для куба суммы:

Раскрываем скобки, почленно перемножая, получаем:

Когда необходимо будет возвести сумму в более высокую степень, умножать почленно скобку на скобку будет проблематично. В этом нам поможет формула бинома Ньютона. По определению, бином – это двучлен, то есть сумма двух слагаемых.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.

Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим . Предположим, что из  скобки выбрать , а из одной скобки выбрать , получим . Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь  можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать . получим 

Предположим, что из  скобок выберем число , а из оставшихся  скобок выберем число . Получим .

Сколько способов из  скобок выбрать число ? То есть из  скобок выбрать  скобок, из которых выбрать число .  Это в точности сочетание: выбрать  объектов из  без учёта порядка, а это . Получаем

Подставляя все возможные от 0 до , получим формулу бинома Ньютона:

Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть  и .

 – это количество способов выбрать из  объектов один. Таких способов . Поэтому в формуле можно заменить на , а можно заменить на ,так как количество способов выбрать из  объектов один равно количеству способов выбрать из  объектов . Ведь выбрать  – то же самое, что не выбрать .

Получим:

Формула бинома Ньютона: .

Пример использования формулы бинома Ньютона для суммы 4-й степени

Пример.

. В данном решение был изменен порядок следования: начали не с , а с . Разницы нет, так как  или же:

Чтоб дописать формулу четвертой степени суммы, нужно знать значение  (по треугольнику Паскаля (Источник). 

.

Пример использования формулы бинома Ньютона для квадрата суммы

Пример.

Найдем квадрат суммы по формуле бинома Ньютона: .

Формула бинома Ньютона для разности

Пример. Получение формулы бинома Ньютона для разности

Подставим вместо  в формулу бинома Ньютона :

Получим  степень для суммы и .

 Когда в соответствующем примере из формулы бинома Ньютона число  в четной степени – знак «-» уйдет, когда в нечетной степени – останется.

Формула бинома Ньютона для разности:

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Oldskola1.narod.ru (Источник). 

Домашнее задание

1. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

2. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

3. Разложить выражение  по формуле бинома Ньютона.

4. Вычислить число сочетаний .

5. Вычислить число сочетаний .