04. Луч и угол

Введение

На этом уроке мы поговорим о двух основополагающих понятиях геометрии – луче и угле. Эти слова вы слышали еще в детстве: солнечный луч известен каждому, кто-то мог слышать про рентгеновские лучи. Угол есть у стола, а кого-то из вас, возможно, иногда ставили в угол комнаты. Разберемся, что означают эти слова в геометрии.

Геометрический луч

На самом деле «геометрический» луч не намного отличается от солнечного. Чем интересен солнечный луч? У него есть начало – солнце, а конца нет: его можно ограничить своей ладошкой или землей, но если бы препятствия не было – он шел бы и дальше. То есть он имеет начало, а с другой стороны – бесконечен, как прямая (см. Рис. 1).

Соответственно, определение луча:

Лучом называется часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Эта точка играет роль солнца – там «начинается» луч! То есть луч имеет начало, но не имеет конца, в отличие от отрезка, который ограничен с двух сторон (см. Рис. 2).

Если рассмотреть горизонтальную прямую  и точку  на ней, то точка  разбивает прямую на два луча: слева и справа от (см. Рис. 3).

Точка  называется вершиной луча. Чаще всего луч обозначают двумя точками, например . Для этого требуется поставить точку  с нужной стороны от . То есть точка  показывает, в каком направлении идет луч, но не ограничивает его (см. Рис. 4).

Обратим внимание на разницу между лучом , отрезком  и прямой . Отрезок ограничен обеими точками (см. Рис. 5), луч – только точкой  (см. Рис. 6), прямая – не ограничена (см. Рис. 7).

Также заметим, что отрезки  и  – одно и то же, прямые  и  – тоже, а вот лучи – разные (см. Рис. 8).

Реже луч просто обозначают малой буквой, но тут запутаться проще, так что используйте исходные обозначения.

Иногда прямые, лучи и отрезки обозначают следующим образом:  – прямая,  – луч,  – отрезок (см. Рис. 9).

Введем еще одно определение. Если два луча лежат на одной прямой, имеют общую вершину, но разные направления – то их называют дополнительными (см. Рис. 10).

Задача на лучи

На прямой отмечены точки ,  и  (именно в таком порядке). Сколько различных лучей с вершинами в данных точках мы можем назвать (см. Рис. 11)?

Решение:

На самом деле таких лучей, конечно, . От каждой точки можно отложить луч как влево, так и вправо. Заметим, кстати, что лучи  и  – одно и то же (совпадают вершины, направления – тоже).

Ответ: .

Геометрический угол

Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называют сторонами угла, а их общее начало – вершина (см. Рис. 12).

Обозначается угол обычно тремя буквами: одна на одной стороне угла, затем – вершина, затем – точка на другой стороне угла:  или , причем . Иногда знак «» пишется над буквами, и получается: .

Обратите внимание, что в некоторых учебниках угол определен иначе – мы дали определение по учебнику Атанасяна.

Зачастую углы обозначают и греческими буквами: (см. Рис. 13).

Наконец, угол можно обозначать через лучи, его образовывающие, например (см. Рис. 14). Но в задачах такое обозначение – редкость.

Угол называется развернутым, если его стороны – дополнительные лучи (см. Рис. 15).

Замечание 1. Обратите внимание: многие считают, что развернутый угол – . Это верно, но это не определение! Не путайте, пожалуйста! Понятие градусной меры нами в курсе геометрии пока введено не было.

Замечание 2. Углом между прямыми называется наименьший угол (или один из наименьших углов), образованный при их пересечении (см. Рис. 16).

Области угла

У каждого угла есть внутренняя и внешняя области (см. Рис. 17).

Рассмотрим . Даны несколько точек (см. Рис. 18).

Заметим, что точки  и  лежат во внутренней области,  и  – во внешней, ,,  – на сторонах (на границах угла).

Задачи

Задача 1. Сколько углов на рисунке (см. Рис. 19)?

Решение:  угла:,, . А как же углы , , ? Они совпадают уже с упомянутыми углами, то есть ,  и .

Ответ:  угла.

Задача 2. Две прямые  и  пересекаются в точке . Сколько углов с вершинами в данных пяти точках можно назвать (см. Рис. 20)?

Сразу в глаза бросаются , ,  и . Но, кроме этих углов, есть еще и развернутые углы:  и . Итого,  углов.

Ответ:  углов.

Заключение

На этом уроке были разобраны такие базовые понятия геометрии, как луч и угол. Луч – часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Угол – геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

2. А.Г. Мерзляк. Геометрия 7 класс. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 192 с.

3. А.Д. Александров. Геометрия 7 класс. – М.: Просвещение, 2013. – 176 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «math-prosto.ru» (Источник).

Домашнее задание

1. Укажите углы, внутри которых лежит точка  (см. Рис. 21).

2. На прямой расположены точки (см. Рис. 22). Какие точки принадлежат лучу  ?

Начертите три луча ,  и  с общим началом. Назовите все углы, образованные данными лучами.